关键词：
调和映射
逆映射
K-拟共形调和映射
非平凡单叶双向调和映射
系数估计
摘要：
本文主要研究平面上具有形式f(z)=α{βz+2iarg(γ-e-βz)}+δ的非平凡单叶双向调和映射。我们给出了该映射及其逆映射都是K-拟共形调和映射的充要条件,以及推算出了在单位圆内非平凡单叶双向调和映射的系数估计。复分析学者***和***-Small将共形映射的经典理论和思想应用于调和映射,研究了单叶调和映射,他们的工作引起人们对单叶调和映射的浓厚兴趣。关于单叶调和映射逆映射的研究,早在1945年,Choquet就给出了一个可逆平面调和的“简单例子”:w=f(z)定义为u=x,tanatany=tanhx,这里z=x+iy,w=u+iv.并且Jacques Deny已证明该例子是仅有的逆映射调和的调和映射的非平凡例子。然而,直到1987年Reich才正式得出该结论。除了共形映射或是仿射变换的逆映射,调和映射的逆映射何时还会调和?是否还有其他情况?在1987年,当EdgarReich在研究更一般的问题和描绘调和映射族f的特征时,发现非仿射调和映射g可使得复合映射gof也会调和,并给出保向单叶调和映射的逆映射调和的一般情况,即调和映射f具有形式f(z)= α{βz+2iarg(γ-e-βz)}+δ.上式证实了***-Deny的结论,也就是说,Reich证明了该“简单例子”符合上述结论。我们将上述形式的调和映射f称为非平凡单叶双向调和映射,并将在论文中阐释该映射具有什么性质,是本文的研究内容。全文共分为三章。第一章,绪论。在这一章中,我们将给出本文所用到的一些概念和记号,介绍调和映射、拟共形映射及非平凡单叶双向调和映射等相关的概念。我们还会简要地回顾非平凡单叶双向调和映射理论发展的背景,并列出本研究的主要结果。第二章,K-拟共形调和映射及其逆映射。我们将分别结合Reich和张兆功对具有形式f(z)=α{βz+2iarg(γ-e-βz)}+δ和f(z)=A[αz+β+log(1-e-αz-β)-log(1--αz-β)]+B的非平凡单叶双向调和映射的证明方法,证明Reich的定理。介绍K-拟共形调和映射的研究背景,以及根据拟共形映射的性质,论证出单连通区域内单叶调和映射及其逆映射都是K-拟共形调和映射的充要条件。第三章,非平凡单叶双向调和映射的系数估计。通过张兆功和刘礼泉给出的定理,我们类似地得出保向单叶调和映射是具有形式f(z)=α{βz+ 2iα+2iary(γ-e-βz)}+δ的非平凡单叶双向调和映射的条件,并进一步研究出单位圆内具有形式f(z)=α{βz+2iαrg(γ-e-βz)}+δ的非平凡单叶双向调和映射的一些系数估计,得到|an|=|bn|<|α|logn(|γ|)∑m=1 n-m≥2 |γ(n-1)+cnmγn-(m-1)/n!|γ-1|n,n≥ 2,这里∑m=1 n-m≥2 cnm=n-1)!,且当m-0或m=n-2时,有cnm =1,m、n为正整数.
